Odotusarvo kertoo, kuinka paljon tietty panos tuottaa tai häviää keskimäärin pitkällä aikavälillä, kun kaikki mahdolliset lopputulokset ja niiden todennäköisyydet huomioidaan. Englanniksi käsitteestä käytetään nimitystä expected value ja lyhennettä EV.
Jos yhden euron panoksen odotusarvo on −0,04 euroa, pelaajan teoreettinen tappio on keskimäärin neljä senttiä jokaista panostettua euroa kohden. Yksittäinen kierros ei pääty neljän sentin tappioon, vaan tuloksena voi olla esimerkiksi koko panoksen menetys tai moninkertainen voitto.
Odotusarvo yhdistää todennäköisyydet ja rahalliset lopputulokset yhdeksi luvuksi. Tämän takia se on yksi keskeisistä käsitteistä kasino- ja vedonlyöntimatematiikan ymmärtämisessä.
Mitä odotusarvo tarkoittaa?
Odotusarvo on kaikkien mahdollisten lopputulosten niiden todennäköisyyksillä painotettu keskiarvo.
Yksinkertaistetusti laskukaava voidaan esittää näin:
EV = (lopputulos 1 × sen todennäköisyys) + (lopputulos 2 × sen todennäköisyys) + ...
Oletetaan kuvitteellinen yhden euron peli, jossa pelaaja joko voittaa yhden euron nettovoiton tai häviää yhden euron panoksensa.
Jos voittamisen todennäköisyys on 50 %:
EV = (0,50 × 1 €) + (0,50 × −1 €)
EV = 0 €
Kyseessä olisi nollan odotusarvon peli. Kummallakaan osapuolella ei olisi matemaattista etua.
Muutetaan voittamisen todennäköisyydeksi 48 % ja häviämisen todennäköisyydeksi 52 %:
EV = (0,48 × 1 €) + (0,52 × −1 €)
EV = −0,04 €
Pelaajan odotusarvo on nyt −0,04 euroa jokaista yhden euron panosta kohden.
Tämä ei tarkoita neljän sentin häviämistä jokaisella pelikierroksella. Se kertoo kaikkien mahdollisten tulosten muodostaman pitkän aikavälin keskiarvon.
Positiivinen, negatiivinen ja nollan odotusarvo
Odotusarvo voidaan jakaa kolmeen perusluokkaan sen perusteella, onko tulos positiivinen, negatiivinen vai nolla.
| Odotusarvo | Merkitys |
| EV > 0 | Positiivinen odotusarvo |
| EV = 0 | Nollan odotusarvo |
| EV < 0 | Negatiivinen odotusarvo |
Positiivisessa odotusarvossa pelaajan keskimääräinen matemaattinen tulos on pitkällä aikavälillä voitollinen.
Nollan odotusarvossa mahdollisten voittojen ja tappioiden todennäköisyyksillä painotettu keskiarvo on nolla.
Negatiivisessa odotusarvossa pelaajan keskimääräinen matemaattinen tulos on tappiollinen.
Tavalliset kasinopelit on rakennettu siten, että pelaajan odotusarvo on negatiivinen ja kasinon positiivinen. Tämän toteuttamiseen ei tarvita yksittäisten pelikierrosten manipulointia, sillä etu syntyy pelin todennäköisyyksien ja voitonmaksujen suhteesta.
Odotusarvo ja house edge kuvaavat samaa etua eri tavalla
Odotusarvo voidaan ilmaista euroina tai suhteessa panoksen kokoon. House edge ilmoitetaan tavallisesti prosentteina.
Jos yhden euron panoksen odotusarvo on −0,04 euroa:
−0,04 € / 1 € = −4 %
Pelaajan odotusarvo on siis −4 % ja kasinon house edge eli matemaattinen etu 4 %.
Jos pelaaja tekee samanlaisessa tilanteessa yhteensä 10 000 euroa panoksia, odotettu nettotulos on:
10 000 € × −0,04 = −400 €
Kasinon vastaava teoreettinen odotusarvo on +400 euroa.
Kyse on samasta matemaattisesta ilmiöstä kahdesta eri näkökulmasta. House edge kertoo kasinon suhteellisen edun, kun taas EV voidaan ilmaista suoraan esimerkiksi euroina yhtä panosta tai koko panostettua summaa kohden.
Ruletin odotusarvo voidaan laskea tarkasti
Eurooppalaisessa ruletissa on 37 numeroa. Yhden numeron panos maksaa osuessaan 35:1.
Jos numerolle asetetaan yhden euron panos, mahdolliset nettotulokset ovat:
- voitto: +35 euroa todennäköisyydellä 1/37
- tappio: −1 euro todennäköisyydellä 36/37.
Odotusarvo on:
EV = (1/37 × 35 €) + (36/37 × −1 €)
EV ≈ −0,0270 €
Yhden euron numeropanoksen odotettu tappio on siis noin 2,7 senttiä eli 2,70 % panoksesta.
Sama house edge koskee eurooppalaisen ruletin tavallisia panoksia, vaikka niiden voittotodennäköisyydet ja voitonmaksut poikkeavat toisistaan.
Esimerkiksi punaiselle asetetun yhden euron panoksen odotusarvo voidaan laskea:
EV = (18/37 × 1 €) + (19/37 × −1 €)
EV ≈ −0,0270 €
Numeropanoksen ja puna-musta-panoksen odotusarvo suhteessa panokseen on siis sama, vaikka niiden varianssi on erilainen.
RTP voidaan muuttaa odotusarvoksi
Kolikkopelissä odotusarvo voidaan johtaa suoraan RTP:stä, jos tarkastellaan pitkän aikavälin keskimääräistä nettotulosta suhteessa panoksiin.
Jos pelin RTP on 96 %, jokaisesta panostetusta eurosta teoreettisesti palautuva summa on:
1 € × 0,96 = 0,96 €
Nettotuloksen odotusarvo on:
0,96 € − 1 € = −0,04 €
Yhden euron panoksen EV on siis −0,04 euroa.
Kymmenen euron kokonaispanostuksella odotusarvo olisi −0,40 euroa ja 1 000 euron kokonaispanostuksella −40 euroa.
Tämä yhteys ei tarkoita, että yksittäisen pelaajan saldo seuraisi laskelmaa tasaisesti. RTP eli palautusprosentti kuvaa teoreettista pitkän aikavälin palautusta, ja toteutuneet tulokset voivat poiketa siitä voimakkaasti.
Odotusarvo kertoo keskimääräisen suunnan. Se ei ennusta yksittäisen pelisession lopputulosta.
Korkea voittotodennäköisyys ei tarkoita positiivista odotusarvoa
Pelin tai panoksen voittotodennäköisyyttä ei kannata tarkastella irrallaan voiton ja tappion suuruudesta. Pelaaja voi voittaa useammin kuin hävitä ja olla silti pitkällä aikavälillä tappiolla.
Oletetaan peli, jossa pelaaja voittaa 90 prosentilla kierroksista yhden euron ja häviää 10 prosentilla kierroksista kymmenen euroa.
Odotusarvo on:
EV = (0,90 × 1 €) + (0,10 × −10 €)
EV = −0,10 €
Pelaaja voittaa yhdeksän kierrosta kymmenestä, mutta jokaisen kierroksen odotusarvo on silti 10 senttiä negatiivinen.
Sama ilmiö näkyy kasinopeleissä eri muodoissa. Korkea hit frequency tai usein toteutuva pieni palautus ei kerro, että peli tarjoaisi hyvän odotusarvon. Kaikki mahdolliset voitot, tappiot ja niiden todennäköisyydet pitää huomioida.
Odotusarvo ei kerro yksittäisen pelisession tulosta
Negatiivisen odotusarvon peli voi tuottaa pelaajalle voittoa yhden kierroksen, illan tai huomattavasti pidemmänkin jakson aikana.
Jos pelaaja asettaa yhden euron numeropanoksen eurooppalaiseen rulettiin ja numero osuu, nettovoitto on 35 euroa. Panoksen odotusarvo oli silti ennen kierrosta noin −0,027 euroa.
Voitto ei siis tarkoita, että alkuperäinen panos olisi ollut positiivisen odotusarvon panos. Odotusarvo määritetään käytettävissä olevien todennäköisyyksien ja voitonmaksujen perusteella ennen satunnaisen lopputuloksen toteutumista.
Samoin hävinnyt panos voi olla positiivisen odotusarvon päätös. Jos tapahtuman todellinen todennäköisyys ja tarjottu voitonmaksu muodostavat positiivisen EV:n, yksittäinen tappio ei muuta laskelman oikeellisuutta.
Tämä ero lopputuloksen ja päätöksen matemaattisen laadun välillä on keskeinen myös vedonlyönnissä.
Varianssi ratkaisee, kuinka paljon tulokset voivat poiketa odotusarvosta
Odotusarvo ei kerro, kuinka tasaisesti tulokset muodostuvat sen ympärille. Tähän tarvitaan tietoa tulosjakaumasta ja sen hajonnasta.
Kahdella pelillä voi esimerkiksi olla yhden euron panoksella sama −0,04 euron EV. Ensimmäisessä mahdolliset voitot ja tappiot voivat olla suhteellisen pieniä, kun taas toisessa voi esiintyä erittäin harvinaisia tuhansien panosten voittoja.
Jälkimmäisessä toteutunut tulos voi pysyä pitkään paljon kauempana odotusarvosta.
Tämän takia EV:tä ei pidä tulkita ennusteena tietyn kierrosmäärän jälkeisestä saldosta. Se on todennäköisyysjakauman keskiarvo.
Pitkän aikavälin toteutuneiden tulosten ja teoreettisten arvojen vertailussa myös pelin volatiliteetilla on merkitystä. huomioidaan pelin volatiliteetti arvioitaessa sitä, millaisia poikkeamia teoreettisesta palautuksesta voidaan odottaa eri pelimäärillä.
Positiivinen odotusarvo vaatii edun
Positiivinen EV syntyy silloin, kun mahdollisten voittojen todennäköisyyksillä painotettu arvo ylittää mahdollisten tappioiden vastaavan arvon.
Kuvitellaan yhden euron panos, jossa pelaaja saa 50 prosentin todennäköisyydellä 1,20 euroa nettovoittoa ja häviää 50 prosentin todennäköisyydellä yhden euron:
EV = (0,50 × 1,20 €) + (0,50 × −1 €)
EV = +0,10 €
Pelaajan odotusarvo on +0,10 euroa eli +10 % panoksesta.
Tavallisessa kasinopelissä tällainen pysyvä asetelma olisi operaattorille epäedullinen. Pelien voitonmaksut ja todennäköisyydet rakennetaan lähtökohtaisesti siten, että kasinolle jää matemaattinen etu.
Positiivinen odotusarvo voi kuitenkin syntyä pelin ulkopuolisesta edusta, kuten kampanjasta tai bonuksesta. Tällöin itse pelin EV ei muutu. Pelaajan kokonaisodotusarvoon lisätään erillisen edun arvo.
Kasinobonus voi muuttaa pelaajan kokonaisodotusarvoa
Bonuksen nimellisarvo ei suoraan kerro sen todellista matemaattista arvoa. Laskelmassa pitää huomioida myös bonusehdot.
Jos kasino antaa esimerkiksi 100 euroa bonusrahaa, siihen voi liittyä kierrätysvaatimus, sallittujen pelien rajauksia, maksimipanoksia tai voittojen kotiuttamiseen vaikuttavia ehtoja.
Kierrätysvaatimus kasvattaa panostettua kokonaismäärää. Kun nämä panokset tehdään negatiivisen odotusarvon peleissä, osa bonuksen arvosta häviää pelien matemaattiseen etuun.
Yksinkertaistetussa tilanteessa, jossa 1 000 euroa täytyy kierrättää pelissä, jonka house edge on 4 %, kierrätyksen teoreettinen kustannus olisi:
1 000 € × 0,04 = 40 €
Todellinen bonusarvon laskeminen voi olla tätä monimutkaisempaa. Pelien painotukset, bonus- ja käteissaldojen käsittely, maksimipanos, mahdollinen maksimikotiutus ja muut ehdot voivat vaikuttaa lopputulokseen.
Näitä tekijöitä käsitellään tarkemmin kierrätysvaatimusta käsittelevässä oppaassa.
Panostusjärjestelmä ei muuta odotusarvoa positiiviseksi
Panoksen koon muuttaminen aikaisempien tulosten perusteella ei poista negatiivista odotusarvoa, jos itse pelin todennäköisyydet ja voitonmaksut pysyvät samoina.
Martingale on tunnettu esimerkki. Pelaaja kaksinkertaistaa panoksen tappion jälkeen tavoitteenaan saada seuraavalla voitolla aikaisemmat tappiot takaisin ja lisäksi alkuperäisen panoksen verran voittoa.
Järjestelmä voi tuottaa suuren määrän pieniä voitollisia sarjoja. Vastapainona harvinainen pitkä tappioputki kasvattaa panoksen eksponentiaalisesti.
Jos ensimmäinen panos on yksi euro, tappioiden jälkeen panokset kehittyvät näin:
1 € → 2 € → 4 € → 8 € → 16 € → 32 € → 64 € → 128 €
Kahdeksan peräkkäisen tappion jälkeen panoksia on asetettu yhteensä 255 euroa ja seuraavan panoksen pitäisi olla 256 euroa.
Mikään tässä panoskoon muutoksessa ei muuta esimerkiksi ruletin seuraavan kierroksen todennäköisyyksiä tai voitonmaksuja. Negatiivinen EV säilyy.
Panostusjärjestelmä muuttaa tulosten jakaumaa ja riskiä, ei pelin taustalla olevaa matemaattista etua.
EV voidaan laskea vain, jos tarvittavat tiedot tunnetaan
Odotusarvon laskeminen edellyttää tietoa mahdollisista lopputuloksista, niiden todennäköisyyksistä ja rahallisista vaikutuksista.
Ruletissa tämä onnistuu helposti, koska pyörän rakenne ja voitonmaksut tunnetaan. Monimutkaisessa kolikkopelissä pelaajalla ei yleensä ole käytettävissään koko todennäköisyysjakaumaa.
Tällöin yksittäisten ominaisuuksien tai bonuskierrosten tarkkaa EV:tä ei voida luotettavasti laskea pelkästään ruudulla näkyvien tietojen perusteella.
Pelin ilmoitettu RTP antaa kuitenkin koko pelistä pitkän aikavälin odotusarvon suhteessa panoksiin. Jos RTP on 94 %, pelaajan kokonais-EV on teoreettisesti −6 % panostetusta määrästä riippumatta siitä, miten palautus jakautuu eri ominaisuuksien kesken.
Tästä syystä on tärkeää erottaa laskettavissa oleva odotusarvo arvauksesta. Jos jonkin lopputuloksen todellista todennäköisyyttä ei tunneta, tarkkaa EV:tä ei voida laskea.
Odotusarvo kasvaa panostetun kokonaismäärän mukana
Kun pelin odotusarvo tunnetaan prosentteina, sen rahallinen vaikutus voidaan arvioida panostetun kokonaismäärän perusteella.
Jos pelaajan EV on −4 %, teoreettinen nettotulos voidaan laskea:
Panostettu kokonaismäärä × −0,04
| Panostettu yhteensä | EV −1 % | EV −4 % | EV −8 % |
| 100 € | −1 € | −4 € | −8 € |
| 1 000 € | −10 € | −40 € | −80 € |
| 10 000 € | −100 € | −400 € | −800 € |
| 100 000 € | −1 000 € | −4 000 € | −8 000 € |
Luvut ovat matemaattisia odotusarvoja, eivät ennusteita siitä, kuinka paljon yksittäinen pelaaja häviää.
Tämä selittää samalla, miksi peliaika ja pelinopeus ovat olennaisia rahallisen odotusarvon kannalta. Jos panoksen koko ja pelin etu pysyvät samoina mutta kierroksia tehdään enemmän, panostettu kokonaismäärä kasvaa.
Esimerkiksi yhden euron panoksella 100 kierrosta tarkoittaa 100 euron kokonaispanostusta. Tuhat kierrosta tarkoittaa jo 1 000 euroa panoksia, vaikka pelaajan alkuperäinen talletus olisi huomattavasti tätä pienempi.
Pelinopeus vaikuttaa odotettuun tappioon aikayksikköä kohden
House edge tai yhden panoksen EV ei muutu sen perusteella, kuinka nopeasti peliä pelataan. Pelinopeus vaikuttaa kuitenkin siihen, kuinka paljon rahaa ehditään panostaa tietyssä ajassa.
Oletetaan peli, jonka house edge on 4 %, ja yhden euron panos.
Jos pelaaja tekee tunnissa 100 kierrosta, panostettu kokonaismäärä on 100 euroa ja teoreettinen tappio:
100 € × 0,04 = 4 €
Jos tunnissa tehdään 600 kierrosta:
600 € × 0,04 = 24 €
Pelin matemaattinen etu on molemmissa tilanteissa sama neljä prosenttia. Jälkimmäisessä tilanteessa pelaaja altistuu samalle negatiiviselle odotusarvolle useammin saman ajan sisällä.
Tästä syystä pelin RTP tai house edge ei yksin kerro odotettua rahallista tappiota tunnissa. Tarvitaan lisäksi tieto panoksen koosta ja pelattujen kierrosten määrästä.
Pienempi negatiivinen EV on matemaattisesti parempi
Jos kahdesta muuten vertailukelpoisesta pelistä ensimmäisen EV on −2 % ja toisen −6 %, ensimmäinen tarjoaa pelaajalle paremman pitkän aikavälin odotusarvon.
Tämä ei tarkoita, että ensimmäisestä pelistä voitettaisiin seuraavalla pelikerralla todennäköisemmin rahaa.
Esimerkiksi korkean varianssin −2 prosentin EV:n peli voi johtaa lyhyellä aikavälillä huomattavasti suurempaan tappioon kuin matalan varianssin −6 prosentin peli. Kun vertailu tehdään riittävän suuren panosmäärän perusteella, odotusarvo kertoo kuitenkin, kumpi vaihtoehto on matemaattisesti edullisempi.
Odotusarvo soveltuu tämän takia vaihtoehtojen vertailemiseen silloin, kun niiden todennäköisyydet ja voitonmaksut tunnetaan.
Päätöksen lopputulos ja päätöksen odotusarvo pitää silti erottaa toisistaan. Hyvän EV:n valinta voi hävitä ja huonon EV:n valinta voittaa yksittäisessä tapahtumassa.
Odotusarvo ei ole sama asia kuin toteutunut tulos
Odotusarvo lasketaan ennen satunnaisen tapahtuman lopputuloksen tuntemista. Toteutunut tulos kertoo, mitä tapahtui tämän jälkeen.
Jos pelaaja tekee sata yhden euron panosta pelissä, jonka EV on −4 %, teoreettinen odotettu nettotulos on:
100 € × −0,04 = −4 €
Pelaaja voi kuitenkin päättää sadan kierroksen jakson esimerkiksi 50 euroa voitolla.
Tämä ei muuta pelin EV:tä positiiviseksi. Samoin 80 euron tappio ei tarkoita, että pelin todellinen EV olisi −80 %.
Toteutuneen ja odotetun tuloksen välinen ero syntyy satunnaisvaihtelusta. Mitä suurempi pelin varianssi on, sitä voimakkaampia poikkeamia voidaan kohdata.
Tämän takia lyhyen pelihistorian perusteella ei kannata yrittää laskea pelin todellista odotusarvoa, jos sen taustalla olevia todennäköisyyksiä ei tunneta.
Kasino ei tarvitse varmaa voittoa jokaisesta pelaajasta
Positiivinen odotusarvo ei tarkoita kasinolle varmaa voittoa yksittäisestä pelaajasta tai edes yksittäisen päivän aikana.
Kasino voi hävitä rahaa pelaajalle, joka saa suuren voiton ja lopettaa pelaamisen. Toisaalta toinen pelaaja voi hävitä huomattavasti enemmän kuin pelin matemaattinen odotusarvo antaisi olettaa.
Kasinon etu syntyy siitä, että suuri määrä negatiivisen pelaaja-EV:n panoksia antaa operaattorille positiivisen pitkän aikavälin odotusarvon.
Tämä ero näkyy myös siinä, ettei teoreettista odotusarvoa pidä sekoittaa toteutuneeseen bruttopelituottoon. Toteutunut GGR muodostuu oikeasti tehdyistä panoksista ja maksetuista voitoista tietyllä ajanjaksolla, kun taas EV kuvaa ennalta laskettavaa matemaattista keskiarvoa.
Odotusarvo on päätöksenteon matemaattinen työkalu
Odotusarvon hyöty ei rajoitu kasinopeleihin. Samaa käsitettä käytetään todennäköisyyslaskennassa, taloustieteessä, sijoittamisessa, vakuutusmatematiikassa ja vedonlyönnissä.
käsittelee todennäköisyysjakaumia ja niiden tunnuslukuja, joiden pohjalle myös odotusarvon matemaattinen tarkastelu rakentuu.
Kasinopeleissä EV tarjoaa yhden luvun, jolla todennäköisyydet ja rahalliset seuraukset voidaan yhdistää. Sen avulla voidaan esimerkiksi ymmärtää, miksi suuri voittotodennäköisyys ei välttämättä tarkoita hyvää panosta ja miksi pieni kasinon etu muuttuu merkittäväksi suuren panosmäärän aikana.
Odotusarvo ei kuitenkaan poista epävarmuutta. Se kertoo vaihtoehdon pitkän aikavälin matemaattisesta arvosta, ei seuraavan tapahtuman lopputulosta.
Yhteenveto odotusarvosta
Odotusarvo eli expected value kertoo kaikkien mahdollisten lopputulosten todennäköisyyksillä painotetun keskimääräisen tuloksen.
Positiivinen EV tarkoittaa pitkän aikavälin matemaattista etua pelaajalle, negatiivinen EV matemaattista tappiota ja nollan EV tasapainoista asetelmaa.
Tavallisissa kasinopeleissä pelaajan odotusarvo on negatiivinen. Tämä etu voidaan ilmaista myös kasinon house edgenä. Esimerkiksi 96 prosentin RTP vastaa neljän prosentin house edgeä ja pelaajan −4 prosentin odotusarvoa suhteessa kokonaispanoksiin.
Odotusarvo ei kerro yksittäisen pelikierroksen tai pelisession tulosta. Sen merkitys näkyy suuren panosmäärän aikana, kun sama matemaattinen etu tai haitta toistuu yhä uudelleen.
EV on tämän takia yksi tärkeimmistä käsitteistä koko kasinopelien matematiikan ymmärtämisessä. Kun odotusarvon yhdistää todennäköisyyksiin, RTP:hen, house edgeen ja varianssiin, voidaan erottaa toisistaan pelin matemaattinen arvo ja satunnaisesti toteutunut lopputulos.