Varianssi kuvaa sitä, kuinka paljon kasinopelin mahdolliset tulokset vaihtelevat niiden odotusarvon ympärillä. Mitä suurempia poikkeamia peli voi tuottaa, sitä suurempi sen varianssi on.
Kasinopeleissä varianssi auttaa selittämään, miksi kaksi samalla palautusprosentilla toimivaa peliä voivat käyttäytyä lyhyellä aikavälillä täysin eri tavalla. Toisessa pelissä tulokset voivat pysyä suhteellisen lähellä keskimääräistä palautusta, kun taas toisessa suuri osa palautuksesta voi muodostua harvinaisista ja erittäin suurista voitoista.
Varianssi liittyy läheisesti volatiliteettiin, mutta käsitteet eivät ole matemaattisesti sama asia. Varianssi on tulosten hajontaa kuvaava suure, kun taas volatiliteettia kuvataan kasinopeleissä usein varianssin neliöjuurella eli keskihajonnalla. Myös UK Gambling Commission käyttää volatiliteetin yhteydessä yleisesti pelin keskihajontaa.
Mitä varianssi tarkoittaa?
Varianssi mittaa havaintojen etäisyyttä niiden keskiarvosta. Yksinkertaistettuna mitä kauempana mahdolliset tulokset ovat keskimääräisestä tuloksesta, sitä suuremmaksi varianssi muodostuu.
Matemaattisesti poikkeamat keskiarvosta korotetaan toiseen potenssiin ennen niiden yhdistämistä. Tämän takia suuret poikkeamat vaikuttavat varianssiin voimakkaasti.
Ajatellaan yksinkertaistettua peliä, jossa yhden euron panoksella mahdolliset nettotulokset ovat joko +1 € tai −1 €. Tulokset sijaitsevat suhteellisen lähellä niiden odotusarvoa.
Toisessa pelissä suurin osa kierroksista voi tuottaa −1 €, mutta erittäin harvinainen kierros maksaa satoja euroja. Vaikka molemmat pelit rakennettaisiin tarjoamaan sama pitkän aikavälin odotusarvo, jälkimmäisen tulokset voivat hajota huomattavasti laajemmalle.
Juuri tätä eroa varianssi auttaa mittaamaan.
Varianssi ja keskihajonta liittyvät suoraan toisiinsa
Varianssin ongelmana käytännön tulkinnassa on se, että tulosten poikkeamat korotetaan laskennassa toiseen potenssiin. Tämän seurauksena varianssin yksikkö ei enää vastaa alkuperäisen muuttujan yksikköä.
Keskihajonta ratkaisee tämän ottamalla varianssista neliöjuuren:
Keskihajonta = √varianssi
Jos varianssi olisi esimerkiksi 25, keskihajonta olisi:
√25 = 5
NIST määrittelee keskihajonnan samalla tavalla varianssin neliöjuureksi.
Kasinopeleissä tämä yhteys on olennainen, koska pelin volatiliteettia voidaan kuvata juuri keskihajonnalla. UK Gambling Commission toteaa korkean volatiliteetin pelin voivan sisältää harvinaisia mutta erittäin suuria voittoja, kun taas matalamman volatiliteetin pelissä voitot voivat painottua pienempiin ja useammin esiintyviin palkintoihin.
Voidaan siis ajatella:
Varianssi → matemaattinen hajonnan mittari
Keskihajonta → varianssin neliöjuuri
Volatiliteetti → kasinopeleissä käytetty kuvaus tulosten vaihtelusta, jota voidaan ilmaista keskihajonnalla
Sama RTP ei tarkoita samaa varianssia
RTP eli palautusprosentti kertoo pelin pitkän aikavälin teoreettisen palautuksen, mutta se ei määritä, millä tavalla palautus jakautuu.
Otetaan kaksi kuvitteellista kolikkopeliä, joiden RTP on 96 %.
| Ominaisuus | Peli A | Peli B |
| RTP | 96 % | 96 % |
| Maksimivoitto | 100x | 20 000x |
| Voittorakenne | Pienemmät voitot painottuvat | Suuret voitot painottuvat harvoihin osumiin |
| Varianssi | Matalampi | Korkeampi |
Taulukko on havainnollistava esimerkki. Pelkästä maksimivoitosta ei voida määrittää pelin todellista varianssia.
Molempien pelien teoreettinen palautus voi olla sama 96 %, jolloin niiden pitkän aikavälin house edge on neljä prosenttia.
Pelaajan kokema tulosjakauma voi silti olla hyvin erilainen. Peli A voi tuottaa paljon pieniä palautuksia, jolloin tulokset pysyvät lähempänä odotusarvoa. Pelissä B suuri osa palautuksesta voi olla sidottu harvinaisiin suuriin voittoihin, jolloin toteutuneet tulokset voivat poiketa odotusarvosta voimakkaammin.
Varianssi ei siis kerro, kumpi peli palauttaa pitkällä aikavälillä enemmän. Se kertoo niiden tulosten erilaisesta hajonnasta.
Korkea varianssi kasvattaa lyhyen aikavälin vaihtelua
Mitä suurempi pelin varianssi on, sitä suurempia poikkeamia teoreettisen ja toteutuneen palautuksen välillä voidaan joutua hyväksymään pienillä havaintomäärillä.
Tämä näkyy myös kasinopelejä koskevassa viranomaisvalvonnassa. UK Gambling Commissionin RTP-seurantaohjeessa pelin volatiliteetti vaikuttaa siihen, kuinka suuri poikkeama toteutuneen ja teoreettisen RTP:n välillä voidaan hyväksyä. Pienellä pelimäärällä vaihteluväli on leveämpi ja havaintomäärän kasvaessa se kapenee.
Esimerkiksi viranomaisen käyttämässä esimerkkipelissä volatiliteetti eli keskihajonta on 5,6. 50 000 kierroksen kohdalla 95 prosentin luottamusväli teoreettisen RTP:n ympärillä on noin ±4,91 prosenttiyksikköä. Miljoonan kierroksen kohdalla vastaava vaihteluväli on enää noin ±1,10 prosenttiyksikköä.
Tämä havainnollistaa kahta asiaa: lyhyen aikavälin toteutunut RTP voi poiketa selvästi teoreettisesta RTP:stä, ja suurempi havaintomäärä pienentää satunnaisvaihtelun suhteellista merkitystä.
Tämän takia yksittäisen pelaajan pelihistoriasta ei voida päätellä, että pelin pitäisi palauttaa ilmoitetun RTP:n mukainen summa tietyn kierrosmäärän jälkeen.
Varianssi ei kerro voiton todennäköisyyttä
Korkea varianssi ei tarkoita, että peli olisi todennäköisemmin voitollinen tai että suuri voitto olisi lähestymässä. Varianssi kuvaa mahdollisten tulosten hajontaa, ei seuraavan pelikierroksen lopputulosta.
Korkean varianssin kolikkopelissä suuri osa palautuksesta voi muodostua harvinaisista suurista voitoista. Pelaaja voi tämän takia kohdata pitkiä jaksoja, joiden aikana toteutunut palautus jää selvästi pelin teoreettisen RTP:n alapuolelle.
Sama toimii myös toiseen suuntaan. Harvinaisen suuren voiton osuessa toteutunut palautus voi hetkellisesti nousta moninkertaiseksi teoreettiseen palautukseen verrattuna.
Aikaisemmat tulokset eivät kuitenkaan muuta seuraavan riippumattoman kierroksen todennäköisyyksiä. Digitaalisissa kasinopeleissä satunnaiset tulokset muodostetaan RNG:n eli satunnaislukugeneraattorin avulla pelin matemaattisen mallin sisällä.
Varianssi auttaa siis kuvaamaan sitä, kuinka voimakkaita poikkeamia odotusarvosta voi esiintyä. Sitä ei voida käyttää seuraavan voiton ajoittamiseen.
Varianssi vaikuttaa pelikassan heiluntaan
Varianssin vaikutus näkyy käytännössä pelaajan saldon muutoksissa. Mitä korkeampi varianssi on, sitä suurempaa heiluntaa saman panostetun kokonaismäärän aikana voidaan kohdata.
Kuvitellaan kaksi peliä, joissa pelaaja tekee 1 000 yhden euron panosta. Molemmissa peleissä pitkän aikavälin odotettu nettotulos on sama, mutta ensimmäisen pelin varianssi on huomattavasti toista suurempi.
Matalamman varianssin pelissä suuri osa toteutuneista 1 000 kierroksen jaksoista voi päätyä suhteellisen lähelle odotusarvoa. Korkean varianssin pelissä mahdollisten lopputulosten vaihteluväli voi olla paljon leveämpi.
Tästä ei seuraa, että korkean varianssin pelissä hävittäisiin pitkällä aikavälillä enemmän. Jos pelien RTP on sama, niiden teoreettinen pitkän aikavälin odotusarvo on sama.
Ero näkyy siinä, millaisia reittejä pitkin tähän odotusarvoon liittyvä jakauma muodostuu.
Pelikassan koko ei muuta varianssia
Pelaajan pelikassan koko ei muuta itse kasinopelin varianssia. Sama peli säilyttää matemaattisen rakenteensa riippumatta siitä, onko pelaajan saldolla 20 vai 2 000 euroa.
Panoksen koko vaikuttaa sen sijaan siihen, kuinka suurina pelin vaihtelut näkyvät euroissa suhteessa käytettävissä olevaan pelikassaan.
Jos pelaaja käyttää 100 euron pelikassalla yhden euron panosta, yksi panosyksikkö vastaa yhtä prosenttia pelikassasta. Viiden euron panoksella yksi kierros vastaa jo viittä prosenttia alkuperäisestä pelikassasta.
Korkean varianssin pelissä suurempi panos suhteessa pelikassaan kasvattaa mahdollisuutta siihen, että saldo ehtyy voimakkaan tappiollisen jakson aikana. Pelin todennäköisyydet tai varianssi eivät tässä tilanteessa muutu – pelaajan käyttämä panoskoko suhteessa käytettävissä olevaan rahaan muuttuu.
Tämän takia pelin matemaattinen varianssi ja pelaajan oma panostaminen kannattaa pitää erillisinä käsitteinä.
Varianssi selittää poikkeamia odotusarvosta
Odotusarvo kertoo, mikä kaikkien mahdollisten lopputulosten todennäköisyyksillä painotettu keskimääräinen tulos on. Varianssi kertoo puolestaan, kuinka voimakkaasti yksittäiset tulokset voivat poiketa tästä keskiarvosta.
Kuvitteellisessa yhden euron pelissä pelaajan odotusarvo voisi olla −0,04 euroa kierrosta kohden. Tämä vastaisi neljän prosentin kasinon etua.
Pelaaja ei kuitenkaan käytännössä häviä jokaisella kierroksella neljää senttiä. Hän voi esimerkiksi hävitä euron, saada panoksensa takaisin tai voittaa kymmeniä tai tuhansia euroja.
Kun kaikkien näiden lopputulosten todennäköisyydet tunnetaan, voidaan laskea sekä pelin odotusarvo että varianssi.
Kaksi peliä voi saada täsmälleen saman −0,04 euron odotusarvon yhden euron panokselle, vaikka toisessa mahdolliset tulokset sijaitsevat paljon kauempana keskiarvosta. Jälkimmäisen pelin varianssi on tällöin suurempi.
Tämän takia odotusarvo vastaa kysymykseen mihin tulos keskimäärin suuntautuu, kun taas varianssi kertoo kuinka paljon tulokset voivat hajota tämän keskiarvon ympärille.
Varianssi pieneneekö, kun kierroksia pelataan enemmän?
Tässä kohtaa on tärkeä erottaa itse pelin varianssi ja pitkän pelijakson keskimääräisen tuloksen vaihtelu.
Yksittäisen pelikierroksen taustalla oleva varianssi ei pienene sen takia, että kierroksia pelataan enemmän. Pelin matemaattinen rakenne pysyy samana.
Kun riippumattomia kierroksia tarkastellaan suurempana kokonaisuutena, keskimääräisen tuloksen suhteellinen vaihtelu kuitenkin pienenee. Tämän takia toteutunut palautus pyrkii suuren havaintomäärän myötä asettumaan lähemmäksi teoreettista palautusta.
Tämä liittyy suurten lukujen lakiin. NIST kuvaa suurten lukujen lakia periaatteena, jonka mukaan otoskeskiarvo lähestyy populaation keskiarvoa havaintomäärän kasvaessa.
Periaate ei tarkoita tappioiden korjaamista. Jos peli on ensimmäisten 10 000 kierroksen jälkeen palauttanut odotettua vähemmän, seuraavien kierrosten ei tarvitse olla tavallista voitollisempia.
Suuren havaintomäärän vaikutus syntyy siitä, että uusien riippumattomien havaintojen määrä kasvaa. Menneet tulokset eivät muuta tulevien kierrosten todennäköisyyksiä.
Suuri voitto voi hallita lyhyen aikavälin tulosta
Korkean varianssin peleissä yksittäinen harvinainen lopputulos voi vaikuttaa koko tarkastelujakson tulokseen erittäin voimakkaasti.
Jos pelaaja panostaa 10 000 kierroksella yhden euron, kokonaispanostus on 10 000 euroa. Yksi 5 000x panoksen voitto vastaisi viiden tuhannen euron palautusta ja muuttaisi koko jakson toteutunutta RTP:tä 50 prosenttiyksiköllä.
Ilman kyseistä osumaa tarkastelujakson palautus voisi jäädä huomattavasti teoreettisen RTP:n alapuolelle. Osuman kanssa se voi nousta sen yläpuolelle.
Tämä havainnollistaa, miksi korkean varianssin pelistä tarvitaan paljon havaintoja ennen kuin toteutuneesta palautuksesta voidaan tehdä mielekkäitä johtopäätöksiä.
UK Gambling Commissionin RTP-seurantaa koskeva ohjeistus huomioi tämän myös progressiivisten jackpotien kohdalla: harvinaiset ja suuret jackpotit voivat tehdä pelistä niin volatiilin, ettei tavallinen toteutuneen RTP:n seuranta yksin ole tarkoituksenmukainen tapa arvioida sen toimintaa.
Varianssi ei kerro, onko peli hyvä vai huono
Korkea tai matala varianssi ei itsessään tee kasinopelistä matemaattisesti parempaa. Varianssi kuvaa tulosten hajontaa, kun taas pelin pitkän aikavälin odotusarvo määräytyy erikseen.
Kahdella pelillä voi olla sama 96 prosentin RTP ja neljän prosentin house edge, vaikka niiden varianssit poikkeaisivat huomattavasti toisistaan. Pelaajan odotettu tappio suhteessa panostettuun kokonaismäärään on tällöin sama, mutta toteutuneiden tulosten jakauma erilainen.
Myöskään matala varianssi ei tarkoita vähäistä kasinon etua. Pelissä voi olla esimerkiksi suhteellisen tasaisesti jakautuvia pieniä voittoja ja samalla matala palautusprosentti.
Tämän takia pelin ominaisuuksia kannattaa tarkastella erillisinä:
| Ominaisuus | Mitä se kertoo? |
| RTP | Teoreettinen pitkän aikavälin palautus |
| House edge | Kasinon teoreettinen etu |
| Varianssi | Tulosten hajonta odotusarvon ympärillä |
| Volatiliteetti | Tulosten vaihtelun voimakkuus |
| Hit frequency | Kuinka usein voitoksi määritelty tulos esiintyy |
| Maksimivoitto | Suurin pelissä mahdollinen voitto |
Yksi luku ei siis korvaa muita.
Varianssia ei voi päätellä maksimivoitosta
Suuri maksimivoitto voi liittyä korkean varianssin peliin, mutta se ei yksin riitä varianssin määrittämiseen.
Oletetaan, että kahdessa kolikkopelissä suurin mahdollinen voitto on 10 000x panos. Ensimmäisessä maksimivoiton todennäköisyys voisi olla huomattavasti pienempi kuin toisessa. Myös kaikkien muiden voittojen todennäköisyydet ja koot voisivat poiketa toisistaan.
Varianssin laskemiseen tarvitaan koko todennäköisyysjakauma. Pelkästä suurimmasta mahdollisesta lopputuloksesta ei saada riittävästi tietoa.
Sama koskee bonusominaisuuksia. Se, että kolikkopelissä on ilmaiskierroksia tai bonuspeli, ei vielä kerro sen varianssia. Olennaista on, kuinka usein ominaisuus käynnistyy ja millaisia voittoja se voi tuottaa suhteessa muuhun peliin.
Tämän takia markkinointitekstit, kuten "jopa 50 000x panos", kertovat voittopotentiaalista mutta hyvin vähän siitä, miten pelin koko tulosjakauma on rakennettu.
Varianssi ei tarkoita sitä, että tulosten pitäisi tasoittua
Suurten lukujen laki tulkitaan kasinopeleissä helposti väärin. Jos toteutunut palautus lähestyy pitkällä aikavälillä teoreettista palautusta, voi syntyä käsitys, että poikkeaman jälkeen tulosten pitäisi muuttua vastakkaiseen suuntaan.
Näin ei ole.
Oletetaan, että kolikkopelin teoreettinen RTP on 96 %, mutta ensimmäisten 100 000 kierroksen toteutunut palautus on 90 %. Seuraavien kierrosten ei tämän takia tarvitse palauttaa yli 96 prosenttia aikaisemman eron korjaamiseksi.
Jos tulevat kierrokset muodostuvat saman muuttumattoman todennäköisyysjakauman perusteella, aikaisempien kierrosten merkitys koko aineistossa pienenee havaintomäärän kasvaessa. Keskimääräinen tulos voi tämän seurauksena lähestyä odotusarvoa ilman, että peli koskaan kompensoi aikaisempia tappioita.
Tämä ero on keskeinen myös todennäköisyyksien ymmärtämisessä. Suurten lukujen laki koskee suuren havaintomäärän käyttäytymistä, ei yksittäisen seuraavan tapahtuman ennustamista.
Varianssi kuuluu myös pöytäpeleihin
Varianssi ei ole vain kolikkopeleihin liittyvä käsite. Kaikilla satunnaisia rahallisia lopputuloksia sisältävillä kasinopeleillä on tulosjakauma, jolle voidaan määrittää varianssi.
Ruletissa esimerkiksi suoran numeropanoksen ja puna-musta-panoksen tulosjakaumat ovat erilaisia.
Yhden numeron panos voi tuottaa suuren 35:1-voiton, mutta osuma tapahtuu eurooppalaisessa ruletissa vain yhdellä 37 mahdollisesta numerosta. Puna-musta-panoksessa voitto on 1:1 ja osumia tulee 18 numerolla 37:stä.
Molempien tavallisten panosten house edge on eurooppalaisessa ruletissa noin 2,70 %, mutta numeropanoksen varianssi on huomattavasti suurempi.
Tämä on hyvä esimerkki siitä, kuinka sama house edge ei tarkoita samaa riskiä tai tulosjakaumaa.
Myös blackjackissa eri pelitilanteiden ja panostustapojen tulosjakaumat vaihtelevat. Pelaajan kokonaisvarianssiin vaikuttavat esimerkiksi tuplaaminen ja jakaminen, koska ne muuttavat yksittäiseen jakoon liittyvän rahallisen lopputuloksen kokoa.
Miksi varianssi kannattaa ymmärtää?
Varianssi yhdistää useita kasinopeleissä vastaan tulevia käsitteitä.
RTP kertoo, mihin keskimääräinen palautus pitkällä aikavälillä perustuu. House edge kertoo saman asetelman kasinon näkökulmasta. Varianssi puolestaan selittää, miksi toteutunut tulos voi pysyä pitkään kaukana tästä keskiarvosta.
Sen avulla voidaan myös ymmärtää, miksi korkean volatiliteetin pelit tarvitsevat enemmän havaintoja ennen kuin toteutunutta RTP:tä voidaan mielekkäästi verrata teoreettiseen arvoon.
Varianssi ei ennusta seuraavaa pelikierrosta, kerro suuren voiton olevan lähestymässä tai muuta pelin odotusarvoa. Se kuvaa mahdollisten tulosten hajontaa.
Yhteenveto varianssista
Varianssi on matemaattinen mittari sille, kuinka paljon mahdolliset tulokset poikkeavat niiden odotusarvosta. Mitä suurempia poikkeamat voivat olla, sitä suurempi varianssi on.
Keskihajonta saadaan ottamalla varianssin neliöjuuri, ja sitä voidaan käyttää kasinopelin volatiliteetin kuvaamiseen. Tämän takia varianssi ja volatiliteetti liittyvät läheisesti toisiinsa, vaikka ne eivät tarkoita täsmälleen samaa asiaa.
Korkea varianssi ei tarkoita korkeampaa tai matalampaa RTP:tä. Se ei myöskään tarkoita automaattisesti suurempaa kasinon etua. Peli voi tarjota saman pitkän aikavälin palautuksen kuin matalan varianssin peli, mutta jakaa palautuksen huomattavasti epätasaisemmin eri pelikierrosten välille.
Varianssin tärkein tehtävä onkin selittää miksi lyhyen aikavälin tulokset voivat poiketa niin voimakkaasti pitkän aikavälin odotusarvosta.